کد متلب روش توانی معکوس (کوچکترین مقدار ویژه و بردار ویژه)

کد متلب روش توانی معکوس برای محاسبه کوچکترین مقدار ویژه

روش توانی معکوس یا معادل انگلیسی آن Inverse Power Method یکی از روش‌های محاسبه کوچکترین مقدار ویژه و بردار ویژه است. از این مقادیر در مسائل مهندسی بسیار استفاده می‌شود و اگر ابعاد ماتریس از 3 بیشتر شود، عملاً محاسبه آن به روش دستی بسیار مشکل می‌شود و حتماٌ برای محاسبه های آن از روش‌های محاسبات عددی و کامپیوتر استفاده می‌شود. برای محاسبات این گونه معادلات معمولاً از نرم افزار متلب استفاده می‌شود. در این محصول کد متلب روش توانی معکوس به هراه فایل راهنما استفاده از کد مربوطه و حل یک مثال برای صحت سنجی نتایج قرار داده شده است تا اگر آشنایی قبلی با این نرم افزار ندارید خیالتان از این بابت راحت باشد.

الگوریتم روش توانی معکوس

در قدم اول اجازه بدهید به تعریف مقدار ویژه و بردار ویژه بپردازیم. فرض کنید یک ماتریس N×N که با حرف (A) نمایش می‌دهیم را در یک ماتریس N×1 که با حرف (x) نمایش می‌دهیم ضرب شود و طبیعتاً جواب آن N×1 است. اجازه بدهید پاسخ را با حرف U نمایش دهیم.

Ax = U

حال اگر ما بتوانیم مقدار واحدی به نام λ را پیدا کنیم که در ماتریس x ضرب شود و به ما پاسخ U را بدهد، به λ مقدار ویژه و به x بردار ویژه می‌گویند.

Ax = λx

این مقادیر در حل مسائل مهندسی کاربرد و اثرات فراوانی دارند و از نظر هندسی، اعمال (ضرب) یک ماتریس در یکی از بردار ویژه‌هایش، سبب بزرگ، کوچک و یا معکوس شدن جهت آن می‌شود. درصورتی که طبق روش توضیح داده شده در روش توانی بتوانیم بزرگترین مقدار ویژه را محاسبه کنیم:

A – λ₁I

اگر Xn بردار متناظر باشد، آنگاه داریم:

Xⁿ(A – λ₁I) =  Xⁿ(λ_n– λ₁)

یا

AXⁿ  =  λ_nXⁿ

بنابر این Xⁿ بردار ویژه A متناظر با ریشه λ_n می‌باشد.

دیگر کدهای متلب آنالیز عددی برای یافتن ریشه معادلات

در وبسایت ساخت اجرا کدهای متلب دیگری در زمینه محاسبات ماتریس‌ها منتشر شده است که پیشنهاد می‌شود بررسی کنید:

• کد متلب روش توانی برای محاسبه بزرگترین مقدار و بردار ویژه