کد روش توانی در متلب (محاسبه مقدار ویژه و بردار ویژه)

کد روش توانی در متلب برای محاسبه مقدار ویژه

روش توانی یا معادل انگلیسی آن Power Method یکی از روش‌های محاسبه بزرگترین مقدار ویژه بردار ویژه است. از این مقادیر در مسائل مهندسی بسیار استفاده می‌شود و اگر ابعاد ماتریس از 3 بیشتر شود، عملاً محاسبه آن به روش دستی بسیار مشکل می‌شود و حتماٌ برای محاسبه های آن از روش‌های محاسبات عددی و کامپیوتر استفاده می‌شود. برای محاسبات این گونه معادلات معمولاً از نرم افزار متلب استفاده می‌شود. در این محصول کد روش توانی در متلب به هراه فایل راهنما استفاده از کد مربوطه و حل یک مثال برای صحت سنجی نتایج قرار داده شده است تا اگر آشنایی قبلی با این نرم افزار ندارید خیالتان از این بابت راحت باشد.

الگوریتم روش توانی برای محاسبات مقدار ویژه و بردار ویژه

در قدم اول اجازه بدهید به تعریف مقدار ویژه و بردار ویژه بپردازیم. فرض کنید یک ماتریس N×N که با حرف (A) نمایش می‌دهیم را در یک ماتریس N×1 که با حرف (x) نمایش می‌دهیم ضرب شود و طبیعتاً جواب آن N×1 است. اجازه بدهید پاسخ را با حرف U نمایش دهیم.

Ax = U

اگر مقدار واحدی به نام λ را پیدا کنیم که در ماتریس x ضرب شود و به ما پاسخ U را بدهد، به آن λ مقدار ویژه و به x بردار ویژه می‌گویند.

Ax = λx

این مقادیر در حل مسائل مهندسی کاربرد و اثرات فراوانی دارند و از نظر هندسی، اعمال (ضرب) یک ماتریس در یکی از بردار ویژه‌هایش، سبب بزرگ، کوچک و یا معکوس شدن جهت آن می‌شود.

در ادامه الگوریتم روش توانی به اختصار توضیح داده خواهد شد:

• یک بردار تصادفیx0 را برداشته و ماتریس را در آن ضرب کنید: x1=Ax0
• بزرگترین عنصر مقدار بردار حاصل را انتخاب کنید.
• بردار حاصل را بر این مقدار تقسیم کرده تا بردار واحد شود.
• ماتریس را در بردار واحد حاصل ضرب کرده و عملیات مرحله های 2 و 3 را تکرار کنید.
• مراحل را تا زمانی ادامه دهید که با حد خطایی مشخص در مرحله دوم به یک مقدار ثابت برسد، که همان مقدار ویژه ما می‎باشد و آخرین بردار واحد، بردار ویژه است.

دیگر کدهای متلب آنالیز عددی برای یافتن ریشه معادلات

در وبسایت ساخت اجرا کدهای متلب دیگری در زمینه محاسبات ماتریس‌ها منتشر شده است که پیشنهاد می‌شود بررسی کنید:

• کد متلب روش توانی معکوس